数値積分公式パラメータ表

ニュートン・コーツ公式

積分区間を [0, 1] に規格化した公式の係数を示す。ニュートン・コーツ公式では分点は必ずすべて等間隔である。

その分点は積分区間の両端を含むが、このことを閉じた公式であるという。
なお、ニュートン・コーツ公式には開いた公式もあるが、これらは精度的な問題から使用される機会は少ない。

積分区間を [-1, 1] に規格化した公式の係数を示す。また、ガウス公式では分点は両端を含まず、このことを開いた公式であるという。
ここには n<=5 の場合のみを示すが、必要であれば n はもっと大きなものを使うこともできる。

分点数	分点	重み
1	x₁ = 0	W₁ = 2
2	x₁, x₂ = ± sqrt(3)/3	W₁ = W₂ = 1
3	x₁, x₃ = ± sqrt(15)/5, x₂ = 0	W₁ = W₃ = 5/9, W₂ = 8/9
4	x₁, x₄ = $\pm\frac{\sqrt{525+70\sqrt{30}}}{35}$ , x₂ = x₃ = $\pm\frac{\sqrt{525-70\sqrt{30}}}{35}$	W₁ = W₄ = $\frac{18-\sqrt{30}}{36}$ , W₂ = W₂ = $\frac{18+\sqrt{30}}{36}$
5	x₁, x₅ = $\pm\frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{21}$ , x₂ = x₄ = $\pm\frac{\sqrt{245-14\sqrt{70}}}{21}$ , x₃ = 0	W₁ = W₅ = $\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$ , W₂ = W₄ = $\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$ , W₃ = 128/225

積分区間を [-1, 1] に規格化した公式の係数を示す。また、チェビシェフ公式では重みはすべて一定で 2/n である。
ここには n<=5 の場合のみを示すが、チェビシェフ公式には n=8 や n>9 の公式は存在しない。

分点数	分点	重み
1	x₁ = 0	W_i = 2
2	x₁, x₂ = ± 1 / sqrt(3)	W_i = 1
3	x₁, x₃ = ± 1 / sqrt(2), x₂ = 0	W_i = 2/3
4	x₁, x₄ = $\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}+2}{3\sqrt{5}}}$ , x₂ = x₃ = $\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{3\sqrt{5}}}$	W_i = 1/2
5	x₁, x₅ = $\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{11}}{3}}$ , x₂ = x₄ = $\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{11}}{3}}$ , x₃ = 0	W_i = 2/5